参考号：EM13920

问题1）

1）考虑Efron的非传递骰子，其中6个面如下表。

a）假设游戏中有四个玩家，每个玩家都会选择一个人并滚动它。数字最多将获胜。对于每个死亡，计算观察到最大数量发生在该模具上的概率。您会选择哪个死亡？

b）假设游戏中有四个玩家，每个玩家都会选择一个死亡并滚动。滚动最小数字的人将被消除。对于每个死亡，计算观察到的最小数字发生在该模具上的概率。现在您会选择哪个死亡（假设您想留在游戏中而不是阅读一本好书，拥有根管的工作等）

c）假设在四个玩家游戏中，滚动数字最小的人支付了$ 5.00，向最大数字的人支付了$ 5.00。一轮后计算每个球员的预期增益。

d）假设死亡的人失去第一轮并被淘汰。这三名球员在另一轮比赛中仅以骰子B，C和D进行比赛。同样，滚动数字最小的人支付了$ 5.00，向最大数字的人支付了5.00美元。计算每个球员从这一回合中的预期增益。

e）假设患有死亡的人失去了第一轮并被淘汰。这三名球员在另一回合中只有骰子A，B和C。再次，滚动数字最小的人向掷出最大数字的人支付了5.00美元。计算每个球员从这一回合中的预期增益。

问题2）

我们讨论过的五个离散分布的概率可以递归计算。换句话说，如果x是带有概率函数f的随机变量f_X（x）= p（x = x），然后f_X（x）/f_X（x-1）= g（x），其中g（x）也可能包含分布的参数，而f_X（x-1）= 0。这可以是一种在诸如λnx之类的函数的情况下生成概率的一种方法。您从计算p（x = x的最小值x范围）开始并递归获取其余部分。

a）找到g（x）forthepoissondistributionWithParameterλ。

b）为binomialldistributionWithParameters n和p找到g（x）。

c）找到具有参数a，b，n和n = a + b的高几何分布的G（x）。

d）（这个永无止境的）fi fi fi fi fi g（x）的负二项式分布，x，试验数，直到第三次成功，以p（s）= p的一系列Bernoulli试验序列。

问题3）

对于一项关于戒烟的研究，我们需要来自24,000名本科生的25名吸烟者样本。假设人口中有2,880名吸烟者和21,120名非吸烟者。

a）让x为一个随机变量，从人群中的200个简单随机样本中，吸烟者的数量（当然，无需替代）。给出p（x = 25）的表达式。

b）假设我们要采样直到获得25名吸烟者。令y为一个随机变量，使我们必须采样（无需替换）才能获得25名吸烟者的人数。给出p的表达（y = 220）。

c）分层人口中有24,000人的随机样本，有14,000名男性，其中1920年的烟雾和10,000名女性，其中960人烟雾。我们决定采集120名男性和80名女性的样本（随机而无需替代）。让Z_m和z_F是随机变量，给样品中的男性吸烟者和女性吸烟者的数量。给出p（z_m+ z_F= 25）。

d）假设我们像在c中一样进行分层随机采样。如果我们的样本含有25名吸烟者，那么14名吸烟者将成为男性的可能性是什么。

问题4）

井水中总大肠菌群的安全水平为每100毫升5或更少的细菌。然后，将样品宣布为“安全”的一个规则是，如果20 mL样品含有0或1个细菌。假设井水中的大肠菌细菌根据泊松过程的平均浓度为每100 mL，并在20 ml的井水样品中，x为随机变量。

a）如果λ= 10（安全极限的两倍），则20 mL试管将含有0或1个细菌（因此样品将被称为“安全”）？

b）法规要求连续三个相隔一周的样本必须“安全”才能宣布“安全”。如果每周λ= 10，则所有三个20 ml样品显示0或1个细菌的概率是多少？

c）使用200 mL容器收集更大的样品，并将该样品转移到10毫升测试管进行分析。如果λ= 10并且200ml样品含有20种细菌，则得出Y的概率分布，即第一试管中细菌的数量。命名y，及e（y）和v ar（y）的概率分布。

d）监管机构认为，如果λ= 10，则需要每周采集3个安全样本的当前法规不够保护。一周持续三个星期，或保持安全样本的定义，但每周需要安全样本持续N周。找到n的最小值，以便如果λ= 10，p（根据规则2声明样本安全）